下雨天, 没带雨具在雨中行走时, 通过同样长的距离, 慢慢行走和快速奔跑相比, 人被雨 水淋湿的程度一样吗?
为讨论问题的方便, 将人看作在雨中直立并向前平移的长方体. 由于风向的不同, 雨滴 下落的方向也不相同, 我们先看最简单的情况 一 无风天气雨滴匀速坚直下落的情形. 和宽分别为 $c$ 和 $b$, 如图 5.16 所示 (图 5.16(b)) 是表示人的长方体模型的侧面图, 向画面内 本来相对于地面坚直下落的雨滴, 相对于人则沿斜向后(左) 的方向匀速下落, 如图5. 16(a) 雨中需要走的路程为 $s$, 则人走完路程 $s$ 所用时间为 $\frac{s}{v_{\text {人 }}}$, 由图 $5.16$ 知, 雨中行走的人在单位时 间内接收的雨水量为 $v_{\text {合 }}(h \sin \alpha+b \cos \alpha) c$, 所以, 人走完全程身体接收的雨水问题为 $$ \begin{aligned} &\sqrt{v_{\text {人 }}^2+v_{\text {雨}}^2}(h \sin \alpha+b \cos \alpha) c \cdot \frac{s}{v_{\text {人 }}}= \\ &\sqrt{1+\cot ^2} \alpha(h \sin \alpha+b \cos \alpha) c s= \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\frac{(h \sin \alpha+b \cos \alpha) c s}{\sin \alpha}= \\ &(h+b \cot \alpha) c s \end{aligned} $$ 因为 $h, b, c, s$ 均为常量, 人在雨中走得越快, 角 $\alpha$ 就越大, $\cot \alpha$ 就越小, 所以, 走完同样 长的路程, 人的行走速度越大, 身体接受的雨水总量就会越少. 当然, 如果不考虑人的“厚 度”, 不是把人看作长方体模型, 而是将人看作没有厚度的长方形模型(很多资料都是建立 这样的模型), 则上式中的 $b=0$, 人在雨中以不同速度走完全程, 身体接受的雨水总量变为 $h c s$, 是常量, 这就是说, 不论人慢慢行走还是快速奔跑, 雨中走完确定长度的路程, 身体被雨 水淋湿的程度是一样的. 再看有风的情形. 有风天へ, 雨滴下落方向不同, 人被淋湿的情况也不尽相同, 我们分析 两种特殊情形 一一风向与人行走方向相同和相反的情形(侧向刮风, 雨滴下落角度会随风 向的变化而改变, 人被潹湿的情况较为复杂,我们不再探究). 如图, 设风向向右, 人以 $v$ 人的速度在雨中匀速向左逆风行走, 若雨滴相对地面的下 角,由图可知 $$ \sin \alpha=\frac{v_{\text {雨}} \sin \beta+v_{\text {人}}}{v_{\text {合}}}, \cos \alpha=\frac{v_{\text {雨}} \cos \beta}{v_{\text {合 }}} $$ 所以, 人在雨中逆风而行, 走完确定的路程 $s$ 所接受的雨水总量为 $$ \begin{aligned} &(h \sin \alpha+b \cos \alpha) c v_{\text {合 }} \cdot t= \\ &{\left[\frac{\left(v_{\text {雨}} \sin \beta+v_{\text {人 }}\right) h}{v_{\text {合 }}}+\frac{v_{\text {雨}}(\cos \beta) b}{v_{\text {合}}}\right] c v_{\text {合 }} \cdot \frac{s}{v_{\text {人 }}}=} \\ &\left(v_{\text {雨}} h \sin \beta+v_{\text {人 }} h+v_{\text {雨}} b \cos \beta\right) c \cdot \frac{s}{v_{\text {人 }}}= \\ &{\left[\frac{v_{\text {雨}}}{v_{\text {人 }}}(h \sin \beta+b \cos \beta)+h\right] c s} \\ & \end{aligned} $$ 式子 $\left[\frac{v_{\text {雨}}}{v_{\text {人 }}}(h \sin \beta+b \cos \beta)+h\right] c s$ 的值越小, 所以, 下雨天逆风而行时, 人走得越快, 通过同 样的路程, 身体接受的雨水总量会越少 (不计人的前后厚度, 上式中 $b=0$ 时, 情况同样如此). 下面,再看人顺风而行的情形: (1) 若人的行走速度大于风速, 则仍感到风是迎面吹来, 雨滴从人的前上方落向人体,如图$v_{\text{合}}$是雨滴相对于顺风行走人的下落速度，由图可知，$v_{\text{合}}$方向与铅直线夹角 $\alpha$ 满足 $$ \sin \alpha=\frac{v_{\text {人 }}-v_{\text {雨}} \sin \beta}{v_{\text {合 }}}, \cos \alpha=\frac{v_{\text {雨}} \cos \beta}{v_{\text {合 }}} $$ 所以,人走完确定的路程 $s$ 身体接收的雨水总量为 $$ \begin{aligned} &(h \sin \alpha+b \cos \alpha) c v_{\text {合 }} \cdot t= \\ &\left(v_{\text {人 }} h-v_{\text {雨}} h \sin \beta+v_{\text {雨}} b \cos \beta\right) c \cdot \frac{s}{v_{\text {人 }}}= \\ &{\left[h+\frac{v_{\text {雨}}}{v_{\text {人 }}}(b \cos \beta-h \sin \beta)\right] c s, v_{\text {人 }}>v_{\text {雨}} \sin \beta} \\ & \end{aligned} $$ 式子中，除人行走的速度为变量外，其余各量均为常量，该解析式的值随人的速度作怎样的变化取决于$(b\cos \beta - h\sin \beta)$的正负情况，已知当 $b\cos \beta - h \sin \beta)>0$, 即 $\beta>\arctan \frac{b}{h}$ 时, 雨中的行人, 走得越快, 同样的路程内接收的雨水总量会越 少; 而 $\beta<\arctan \frac{b}{h}$ 时, $(b \cos \beta-h \sin \beta)<0$, 人走得越快, 走完同样的路程, 接收的雨水总 量会越多; 当 $\beta=\arctan \frac{b}{h}$ 时, $(b \cos \beta-h \sin \beta)=0$, 所以, $\left[h+\frac{v_{\text {西 }}}{v_1}(b \cos \beta-h \sin \beta)\right] c s=$ $h c s$, 为常量, 此时, 不论是慢走还是快跑, 在确定长度的路程内, 人被雨水淋湿的程度一样.

(2) 若人的行走速度小于风速, 则雨滴从人的后背落向人体, 如图所示, 风向和人 的运动方向均向左, 设雨滴的下落方向与铅直线的夹角为 $\beta$, 雨滴相对于行人的速度 $v_{\text {合}}$ 直线的夹角为 $\alpha$, 则有 $$ \begin{aligned} &\sin \alpha=\frac{v_{\text {用 }} \sin \beta-v_{\text {人 }}}{v_{\text {合 }}} \\ &\cos \alpha=\frac{v_{\text {車 }} \cos \beta}{v_{\text {合 }}} \\ & \end{aligned} $$ 所以, 人在雨中走完路程 $s$, 身体接受的雨水总量为 $$ \begin{aligned} &(h \sin \alpha+b \cos \alpha) c v_{\text {合 }} \cdot t= \\ &{\left[\frac{\left(v_{\text {雨}} \sin \beta-v_{\text {人 }}\right) h}{v_{\text {合 }}}+\frac{v_{\text {雨}}(\cos \beta) b}{v_{\text {合}}}\right] c v_{\text {合 }} \cdot \frac{s}{v_{\text {人 }}}=} \\ &\left(v_{\text {雨}} h \sin \beta-v_{\text {人}} h+v_{\text {雨 }} b \cos \beta\right) c \cdot \frac{s}{v_{\text {人}}}= \\ &{\left[\frac{v_{\text {雨}}}{v_{\text {人 }}}(b \cos \beta+h \sin \beta)-h\right] c s, v_{\text {人 }} < v_{\text {雨}} \sin \beta} \\ & \end{aligned} $$ 由上式可知，人走的越快，式子的值越小，雨水总量越少。
需要说明的是, 为了方便讨论,以上诸多情况, 我们都是将人看作长方体模型, 实际上, 人属于不规则的“几何体”, 而且, 人的行走并非是在雨中平移, 双創和两臂在不停的前后抱 动, 身体上下晃动的同时,还在不断地扭动, 因此, 实际问题中的雨中行人, 走完同样的路程, 人被雨水淋湿的程度远比我们上面的讨论复杂得多, 当风向与人的前进方向成任意角度时, 问题将会变得更为复杂, 在此就不探讨了.

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